解析学 (Analysis), 講義資料(Lecture notes):

関数（定義域、値域、極限、連続）
• 第１回〜
  

Lecture syllabus ( 「解析学」シラバス)

関数、微分、積分

テキスト
• 関数
• 極限 (更新:2008/04/01)
• 導関数,
  訂正：4.1 lim [f(x0+h)-f(x0)]/h が正しい。
• 原始関数、不定積分
• 定積分、面積

スライド、確認シート

• 1) Lecture 2019/04/11: ガイダンス,
  
• 2) Lecture 2019/04/18: 関数, スライド配布資料, 写像, スライド配布資料, 確認シート2
  キーワード：関数とグラフ(直線の方程式、直線の傾き、定義域と値域、偶関数と奇関数、合成関数、増加関数と減少関数、自然対数、単射な関数と全射な関数、逆関数、対数関数、三角関数)
  

  学生：関数は何ですか？
  x を色々な値をとる「変数」とします。各xに対してそれぞれ１つの値yを対応させる関係がある時ｙはｘの「関数」である。y=f(x)と書きます。
  　ｘのとる値の範囲を「定義域」、それに従ってｙのとる値の範囲を「値域」といいます。特に指定のない限り、定義域はなるべく広くとるのが普通です。
  関数y=f(x)について、対応しているxとyの値の組(x,y)をxy座標平面上に点として表示したとき、それらの点全体を関数y=f(x)の「グラフ」といいます。
  例えば、y=f(x)=(1-x²)^1/2のグラフは以下の通りです。
  
  この関数の定義域は[-1,1]となる。値域は[0,1]となる。
  
  関数例：
  

  • 直線：yがxの1次式, y=ax+b
  • 放物線：yがxの2次式, y=ax²+bx+c
  • 円：y²+x²=r²
  • 楕円：(y/a)²+(x/b)²=1, a>b の時は、横長の楕円
  • 双曲線：(y/a)²-(x/b)²=1, a>0, b>0; xy=k (直角双曲線), y=sinh(x); y=cosh(x); y=tanh(x)
  • 三角関数：y=sin(x); y=cos(x); y=tan(x)など
  • 指数関数：y=a^x, a≠1(aを1でない正の数とします=「底」)、定義域 ]-∞,+∞[、値域 ]0,+∞[ ; a=eの時は、y=e^x
  • 対数関数：y=log_a(x), a≠1(aを1でない正の数とします=「底」)、定義域 ]0,+∞[、値域 ]-∞,+∞[ ; a=eの時は、y=log_e(x)=Ln(x)

  学生：逆関数は何ですか？
  逆＋関数：です。英語で"function inverse"と言います。
  すべての関数の満たすの合成関数：f(f^-1(x))=x。
  例えば、右の逆は左です。上の逆は下です。このように一般の関数が逆関数を持っています。例：指数関数(exp(x))の逆関数は対数関数(log(x))である。
  平面上で関数 y=f(x) のグラフとその逆関数y^-1=f^-1(x)のグラフは直線y=f(x)=x=y^-1=f^-1(x)に関して対称(Symmetric)である。

  逆関数はどうやって求めるのか？
  y=f(x)の時、y^-1=f^-1(x)が逆関数です。
  y=f(x)の時、yが従属変数とxが独立変数である。逆関数は逆にxが従属変数とyが独立変数である。

  関数	逆関数(途中記述)	逆関数(変数名の入換)
  y=f(x)=x+1	x=f(y)=y-1	y-1=f-1(x)=x-1
  y=f(x)=x2	x=f(y)=y1/2,y>=0	y-1=f-1(x)=x1/2,x>=0
  y=f(x)=e2x	x=f(y)=(1/2)*Ln(y),y>0	y-1=f-1(x)=(1/2)*Ln(x),x>0
  y=f(x)=Ln(2x+3)	x=f(y)=(1/2)*(exp(y)-3)=(1/2)*(ey-3)	y-1=f-1(x)=(1/2)*exp(x)=(1/2)*(ex-3)
  ...	...	...

  
  
  
  
• 3) Lecture 2019/04/25: 関数の極限, 確認シート3
  極限と連続(極限の定義、性質、左方極限と右方極限、連続、連続関数)(1)

  学生：関数グラフの漸近線は何ですか？
  漸近線 x = a は f(x) に対しての垂直な漸近線となる（以下に示す条件の少なくとも一つを満たす場合に）。

  • x→a^-, lim y=f(x)→ +∞
  • x→a⁺, lim y=f(x)→ +∞
  • x→a^-, lim y=f(x)→ -∞
  • x→a⁺, lim y=f(x)→ -∞
  例：x + (1/x) のグラフにおいては、y 軸と直線 x = y が二つの漸近線となる。
  

  学生：関数の極限値は形式的に求めると一般的に求めるのあるか？
  形式的に求めるのはε-δ論法を利用する。
  関数f(x)が点aを含む区間で定義されているとする。任意の正の数εに対して、正の数δで次の条件を満たすものが存在するならば、関数f(x)はaでf(a)に収束するという。
  
  
  例：
  
  δ=ε=0.01で終了します。
  一般的に求めるのは極限の性質や基本関数の極限ルールを使用する。
  
  
  

• 4) Lecture 2019/05/16: 関数の連続と導関数、スライド配布資料, 確認シート4
  極限と連続(極限の定義、性質、左方極限と右方極限、連続、連続関数)(2)
  関数f(x)が点aで連続であるとは： ということである。ε-δ論法の記述は以下の通り：
  
  

  学生：単調な関数は何ですか？
  
  区間Iで定義された関数f(x)が、条件 をみたすときf(x)はIで「単調増加」であるという。「単調減少」も同様に定義される。
  

  • 三角関数：y=sin(x)は[-π/2,π/2]で単調増加, y=cos(x)は[0,π]で単調減少; y=tan(x)は[-π/2,π/2]で単調増加
  • 指数関数：y=a^x, a≠1(aを1でない正の数とします=「底」)、定義域 ]-∞,+∞[、値域 ]0,+∞[ ; a>1の時は、単調増加; 0< a <1の時は単調減少
  • 対数関数：y=log_a(x), a≠1(aを1でない正の数とします=「底」)、定義域 ]0,+∞[、値域 ]-∞,+∞[ ; a>1の時は単調増加; 0< a <1の時は単調減少
  
  
• 5) Lecture 2019/05/23: 導関数,スライド配布資料(先週の資料), 確認シート5.
  (曲線の傾きと接線、微分の定義と表記法、微分の公式、合成関数の微分、陰関数の微分、指数・対数・三角・逆三角関数の微分) (1)
  Wikipediaの定義

  学生：合成関数の微分法の証明は？
  
  
  
  

  微分法による問と解
  
  

• 6) Lecture 2019/05/30: 高次導関数, スライド配布資料, 確認シート6.
  導関数(曲線の傾きと接線、微分の定義と表記法、微分の公式、合成関数の微分、陰関数の微分、指数・対数・三角・逆三角関数の微分) (2)
  極大と極小（テキスト配布資料4:極値（極大値、極小値）,
  
  

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• 7) Lecture 2019/06/06: 不定形の収束、級数の収束と発散、Taylor展開,
  先週の資料, 確認シート6 (問題:5., 6., 7.)
  テーラー展開(公式)と近以式,
  近以式、曲線の概形の確認シート
  確認シート7,
  
  
• 8) Lecture 2019/06/13:Taylor展開,先週の資料
  微分総合問題（復習）.
  
  

  • 学生：テーラー公式とマクロリン公式の違う？
    

    • テーラー公式は任意の x=a (a は関数の定義域内の点)に対して冪級数展開関数である。
      
    • マクロリン公式は x=0 に対して冪級数展開関数である。
      
    そういうことで、a=0の時は、テーラー展開とマクロリン公式は同じです。

  • 学生：近似値をテーラー展開を用いて小数第 n 位まで求める時、テーラー展開の n 次式まで行うことで良いでしょうか？ 剰余項Rn(x)は？
    答え：
    誤差Eを与える時、剰余項Rn(x)の絶対値を誤差Eより小さいの満たす n を求める必要とする。
    例えば、マクロリン公式を用いてネピア e　の小数第 2 位までの近似値を求めよ。
    e^x = 1+ x + 1/2! x² + 1/3! x³+ 1/4! x⁴+ ...
    x=1 => e = 1+ 1+ 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
    Rn(x)=e^c/n! (0 < c < 1)
    e^c < e < 3　=> Rn(x)< 3/n! < 0.005 <=> 600 < n!
    結果：n = 6 (6! = 720 > 600)
    e = 1+ 1+ 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! ≅ 2.72

  
  
  
• 9) Lecture 2019/06/20:不定積分と定積分(用語と表記、積分公式、定積分の公式、置換積分) (1) スライド配布資料(積分1)、, 確認シート8
  （2） 不定積分(スライド配布資料(積分2)), 確認シート9積分,確認シートの内容の確認.
  例題 .
  
  
• 10) Lecture 2019/06/27:不定積分(スライド配布資料(積分2)) (第9回の資料(2)と同じ), 確認シート10 定積分(用語と表記、積分公式、定積分の公式、置換積分) (1)　(スライド配布資料(定積分)), 確認シート10, 授業中の例題
  
  
• 11) Lecture 2019/07/04:定積分(2), 面積と体積 (スライド配布資料), 確認シート11
  
  
• 12) Lecture 2019/07/11:二重積分 (テキスト配布資料), 微分・積分の応用, 確認シート12
  確認シート12の解
  
  

  • 学生：放物線 y=x²+2x-1 と直線　y=x+1　に囲まれる図形の面積Sを求めよ？ この問の解について誤りが訂正します。マイナス面積がある？
    マイナスの面積は書かないので、プラスにする。定積分がマイナスしても、結果をプラスにする。 x = [-2,1]　区間に S = integrate(x+1 - (x²+2x-1)=integrate(2-x-x²)の面積です。9/2が正解です。
    
    でも、マイナス値の定積分は存在します。それはマイナスの面積ということは図形がx軸の以下にある面積が大きいということです。例えば、y=2x-3, x=[0,1]区間の定積分は-2です。 y=cos(x), x=[0,3π/2]区間の定積分は-1です。
    
    次の例では、面積は常にプラス値ということです。
    
    
    

• 13) Lecture 2019/07/18:広儀積分 (スライド配布資料), 微分・積分の応用,
  
  
• 14) Lecture 2019/07/25:復習 , 確認シート20, 平成21年度の試験問題と解,
  解の修正： 不定積分：
  B2(3)　 ∫ 2x+1+(1/x)+(3/x²)+(1/x³) dx = x²+x+log(x)+3*(-1/x)+(-1/2x²)+C
  平成23年度の試験問題,
  平成25年度の試験問題と解, 解の修正：
  問題A4(2)：
  不連続点：x=1
  問題B3(2)：
  積分：(5x+3)³, ∫(5x+3)³ dx = (1/20)*(5x+3)⁴ +C
  問題B5(1)：
  定積分： ∫1 ² log(x) dx = 2log2 -1
  問題B6(1)：
  定積分： ∫0 ² x/((x²-1)²+1) dx, u= x²-1,
  ∫-1 ¹ 1/(u²+1) du/2 = 1/2(Atan(1)-Atan(-1))=π/4
  問題B8(1)：
  S=∫0 ² (x/2 - x²/4)dx = 1/3
  
  

  学生：二重積分の極座標への変数変換の領域Dから領域Eの過程が分かりません？
  x,y の領域が異なるという点で、その結果も異なります。
  x=rcosθ, y = rsinθ とおくと、ヤコビアンは|J|=rである。
  dxdy = rdrdθ
  
  
  もう一つの例を見ましょ。
  
  この例のポイントは0 ≤ x なので、θ ∈ [-π/2,π/2]　になる。
  

• 15) Lecture 2019/08/01:期末試験,
  4コマ目:14:40〜16:10, 資料の持込可