次の関数を微分せよ

(1)\(y=(3x+1)^4\)
(2)\(y=(3-2x^2)^3\)
(3)\(y=\frac{1}{(x^2+1)^3}\)


(1)
\(u=3x+1\)とおくと\(y=u^4\)となり
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\),\(\$\frac{dy}{du}=4u^3\), \(\frac{du}{dx}=3\),
よって
\(\frac{dy}{du}=4u^3\cdot3-12u^3=12(3x+1)^3\)

(2)
\(u=3-2x^2\)とおくと\(y=u^3\)となり
\(\frac{dy}{dx}=3u^2\),\(\frac{du}{dx}=-4x\),
よって
\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot (-4x)=3(3-2x^2)^2 \cdot (-4x)=-12(3-2x^2)\)

(3)
\(u=x^2+1\)とおくと\(y=u^{-3}\)となり
\(\frac{dy}{du}=-3u^{-4},\frac{du}{dx}=2x\),
よって
\(\frac{dy}{dx}=-3u^{-4} \cdot 2x=-6x(x^2+1)^{-4}\)

逆関数の微分法

(1)\(y=x^\frac{1}{6}\)
xについて解くと
\(x=y^6\)
ここで、yをxの関数で表すと
\(\frac{dx}{dy}=6x^5\)
よって
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{6y^5}=\frac{1}{6(x^\frac{1}{6})^5}\)
ここでyをxの関数で表して
\(y'=\frac{1}{6x^\frac{5}{6}}\)


(2)\(y=\sqrt{x}\)をxについて解くと
xをyの関数と考えて微分すると \(\frac{dx}{dy}=2y\)
よって
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{2y}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

第2次導関数、第3次導関数を求めよ

(1)\(y=2^3-3x^2+4x+1\)
(2)\(y=\cos{x}\)
(3)\(y=2^x\)
(4)\(y=\log2{x}\)

(1)
\(y'=6x^2-6x+4\)
\(y''=12x-6\)
\(y'''=12\)
(2)
\(y'=-\sin{x}\),\(y''=-\cos{x}\),\(y'''=\sin{x}\)
(3)
\(y'=2^x\log{2}\),\(y''=2^x(log2)^2\),\(y'''=2^x(\log{2})^3\)
(4)
\(y'=\frac{1}{x\log{2}}\)
よって
\(y''=-\frac{1}{x^2log2}\) \(y'''=\frac{2}{x^3log2}\)

関数\(y=e^{-x}\cos{x}\)は、次の等式を満たすことを示せ。

\[ y''+2y'+2y=0 \]

\(y'=(e^{-x})'\cos{x}+e^{-x}(\cos{x})'=-e^{-x}(\cos{x}+\sin{x})\)
\(y''=2e^{-x\sin{x}}\)
よって
\(2e^-x \sin{x} + 2(-e^{-x(\cos{x} + \sin{x}})) + 2e^{-xcosx} = 0\)
まとめ
\(\frac{d^u}{dx^u}x^u=n(n-1)(n-2)...2 \cdot 1=n!\)
\(\frac{d^{u}}{dx^{u}}e^2u = 2^u e^{2x}\)

1. 次の関数の第3時までの導関数求めよ。

(1)\(y=\sqrt{x}\)
(2)\(y=x \sin{x}\)
(3)\(y=\log{(x^2+1)}\)
(4)\(y=\log{|\cos{x}|}\)
(1)
\(y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\),\(y''=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\),\(y'''=\frac{3}{8x^2\sqrt{x}}\)
(2)
\(y'=\sin{x} + x\cos{x}\),\(y''=2\cos{x} - x\sin{x}\),\(y'''=-3\sin{x} - x\cos{x}\)
(3)
\(y'=-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\),\(y''=-\frac{1}{\cos^2{x}}\),\(-\frac{2\sin{x}}{\cos^3{x}}\)

2. \(x^\frac{2}{3} + y\frac{2}{3}=1\)…(1)であるとき、\(\frac{dy}{dx}=-(\frac{y}{x})^\frac{1}{3}\) であることを示せ。

(1)の両辺をxについて微分する。
\(\frac{d}{dx}x^\frac{2}{3} = \frac{2}{3}x^\frac{2}{3}-1 = \frac{2}{3}x^-\frac{1}{3}\),
\(\frac{d}{dx}y^\frac{2}{3} = \frac{d}{dy}y^\frac{2}{3}\),
\(\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}y^-\frac{1}{3}\frac{dy}{dx}\)であるから
\(\frac{2}{3}x^-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}y^\frac{1}{3}\frac{dy}{dx}=0\)
よって\(\frac{dy}{dx} = -\frac{x^-\frac{1}{3}}{y^-\frac{1}{3}} = -(\frac{y}{x})^\frac{1}{3}\) Q.E.D

3. \(y=\tan^{-1}{x}\)[inverse tangent, arctan(x)], y’を求めよ。

\(\tan{y}=x\)
\(\frac{dx}{dy}=\frac{d}{dy}(\tan{y}) = \frac{d}{dy}(\frac{\sin{y}}{cos{y}}) = \frac{\cos{y}\cos{y} - (\sin{y})(-\sin{y})}{\cos{y}^2}=\frac{1}{(\cos{y})^2}\)

\(\frac{sin{y}}{\cos{y}} = x\) , \(\sin{y} = x\cos{y}\) , \(\sin{y}\cos{y}=x\cos^2{y}\) \(\frac{dx}{dy}=\frac{d}{dy}(\tan{y})\)
\(\frac{d}{dy}(\tan{y}) = \frac{d}{dy}(x) ⇔\frac{d}{dy}(\tan{y})= \frac{1}{\frac{dy}{dx}}\)
\(\frac{d}{dy}(\tan{y})\frac{dy}{dx} = 1\)
\(y'=\frac{1}{\frac{d}{dy}(\tan{y})} = \frac{1}{\frac{1}{(\cos^2{y})}} = \cos^2{y}\)

よって
\(\frac{d}{dx}(\tan^{-1}{x}) = \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1+\frac{\sin^2{y}}{cos^2{y}}} = \frac{1}{1+\tan^2{y}}\)

4. \(y=\sin^{-1}{x}\)[inverse tangent, arcsin(x)], y’を求めよ。

\(\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x})⇔ \sin{y} = x , (\cos{y})y' = 1,\) よって
\(\frac{d}{dx}(\sin^{-1}{x}) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}\)